Maaß, Marco2025-05-122025-05-122025https://epub.uni-luebeck.de/handle/zhb_hl/3432Die Magnetpartikelbildgebung ist ein auf Tracern basierendes medizinisches Bildgebungsverfahren, das die räumliche Verteilung von superparamagnetischen Nanopartikeln misst. In der Magnetpartikelbildgebung werden wechselnde Magnetfelder mit unterschiedlichen Anregungssequenzen zur Messung der Nanopartikelverteilung in einem Scanner verwendet. In einer ersten Annäherung wird normalerweise das vereinfachte Langevin-Modell des Paramagnetismus als Approximation für das komplizierte nichtlineare Magnetisierungsverhalten von Nanopartikeln genutzt. Obwohl das modifizierte Langevin-Modell des Paramagnetismus bei eindimensionaler Anregung geeignete Bildrekonstruktionen liefern kann, ist die Situation bei höherdimensionaler Anregung komplizierter, da mehrere Aspekte nicht vollständig durch das Modell erklärt werden können. Ein bekanntes Beispiel ist die räumliche Ähnlichkeit der Frequenzkomponenten der Systemfunktion mit Tensorprodukten von Tschebyscheff-Polynomen. Dies wurde für eine höherdimensionale Anregung vom Lissajous-Trajektorie-Typ beobachtet und war fast zehn Jahre lang unbewiesen. Mit dem Ziel, solche Beobachtungen mathematisch erklären zu können, leistet diese Arbeit einen wichtigen Beitrag zu den mathematischen Grundlagen der Magnetpartikelbildgebung. Zu diesem Zweck wird die auf dem Langevin-Modell basierende raum-zeitliche Systemfunktion mit Hilfe verschiedener Konzepte der Fourier-Analyse in den Frequenzbereich transformiert. Die wissenschaftlichen Beiträge der neu entwickelten mathematischen Beschreibung ist vielfältig. Unter anderen ist das entwickelte Modell in der Lage, die scannerabhängige Anregung vom Partikelmagnetisierungsmodell zu trennen, was eine bessere Nutzung des Bildgebungsoperators ermöglicht, so dass schnellere Rekonstruktionsmethoden entwickelt werden können. Außerdem ist es nun einfacher, sowohl den Effekt des Magnetisierungsmodells als auch den der Anregungssequenz im Abbildungsmodell separat zu untersuchen. Daher wird in dieser Arbeit ein erweitertes Gleichgewichtsmagnetisierungsmodell eingeführt und eine Reihendarstellung dafür entwickelt. Darüber hinaus wird die exakte Beziehung zwischen den Frequenzkomponenten der Systemfunktion und den Tensorprodukten von Tschebyscheff-Polynomen für Anregungen vom Lissajous-Trajektorien-Typ gezeigt. Schließlich werden mit Hilfe der entwickelten mathematischen Methoden die Frequenzdarstellungen verschiedener aus der Literatur bekannter Anregungssequenzen berechnet, was die Anwendbarkeit des Modells für die Magnetpartikelbildgebung weiter erhöht.Magnetic particle imaging is a tracer-based medical imaging technique that measures the spatial distribution of superparamagnetic nanoparticles. Alternating magnetic fields with different excitation sequences are used to measure the nanoparticle distribution in a scanner. Usually, the simplified Langevin model of paramagnetism is used as a first approximation for the complicated nonlinear magnetization behavior of nanoparticles. Although the modified Langevin model of paramagnetism can provide suitable image reconstructions for one-dimensional excitation, the situation is more complicated for higher-dimensional excitation, as several aspects cannot be fully explained by the Langevin model. A well-known example is the spatial similarity of the frequency components of the system function with tensor products of Chebyshev polynomials. This was observed for a higher-dimensional excitation of the Lissajous trajectory type and was unproven for almost ten years. With the aim of explaining such observations mathematically, this thesis makes an important contribution to the mathematical foundations of magnetic particle imaging. To this end, the spatio-temporal system function based on the Langevin model is transformed into the frequency domain using various concepts of Fourier analysis. The scientific contribution of the newly developed mathematical framework is manifold. Firstly, the developed model is able to separate the scanner-dependent excitation from the particle magnetization model, allowing better utilization of the imaging operator so that faster reconstruction methods could be developed. Secondly, it is now easier to investigate both the effect of the magnetization model and that of the excitation sequence in the imaging model separately. Thus, an extended equilibrium magnetization model is introduced in this thesis and a series representation is developed for it. Furthermore, the exact relationship between the frequency components of the system function and the tensor products of Chebyshev polynomials is shown for excitations of the Lissajous trajectory type. Finally, using the developed mathematical framework, the frequency representations of various excitation sequences known from the literature are calculated, which further increases the applicability of the model for magnetic particle imaging.enMagnetic particle imagingField free pointFourier transformMagnetization modelsLangevin functionSystem functionBessel functionsOrthogonal polynomials004thesis.doctoralurn:nbn:de:gbv:841-2025051202